Elementary Embedding

定义 Definition

elementary embedding（初等嵌入 / 基本嵌入）：在模型论中，一种保持“一阶逻辑公式真值”的结构映射。更具体地说，若 \(j: M \to N\) 是从结构 \(M\) 到结构 \(N\) 的映射，并且对所有一阶公式 \(\varphi(\bar{x})\) 与所有参数 \(\bar{a}\in M\)，都有
\[ M \models \varphi(\bar{a}) \iff N \models \varphi(j(\bar{a})) \] 则称 \(j\) 为 elementary embedding。
（在集合论里也常见，尤其与“大基数”相关。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛlɪˈmɛntəri ɪmˈbɛdɪŋ/

例句 Examples

An elementary embedding preserves all first-order truths between structures.
初等嵌入会在结构之间保持所有一阶真理。

In set theory, the existence of a nontrivial elementary embedding \(j: V \to M\) is tied to large cardinal axioms.
在集合论中，非平凡的初等嵌入 \(j: V \to M\) 的存在与大基数公理密切相关。

词源 Etymology

elementary 原意为“基础的、初等的”，在逻辑/模型论语境中引申为“与一阶（elementary/first-order）语言相关的”。embedding 来自“嵌入、嵌套”的一般含义，在数学中指把一个结构以保结构的方式映射进另一个结构。合在一起，elementary embedding 强调这种“嵌入”不仅保留运算/关系，还保留所有一阶公式的可满足性与真值。

相关词 Related Words

• Elementary
• Embedding
• Model Theory
• Structure
• Homomorphism
• Isomorphism
• Elementary Submodel
• First-Order Logic
• Large Cardinal
• Ultrapower

文学与经典著作 Literary Works

• Chang & Keisler, Model Theory（模型论经典教材，系统讨论初等嵌入与初等等价等概念）
• Wilfrid Hodges, Model Theory（包含初等映射/嵌入在模型论中的核心用法）
• Thomas Jech, Set Theory（集合论教材中与大基数、公理体系相关的初等嵌入思想频繁出现）
• Akihiro Kanamori, The Higher Infinite（大基数理论的重要专著，初等嵌入是关键工具与表述方式）